ARTÍCULOS REVISTAS

Noticias de interés matemático recopiladas por nuestro socio, ya fallecido, D. Jesús Luezas.

Adolf Hurwitz demostró por primera vez el teorema que lleva su nombre en 1891. Es un teorema de teoría de números enmarcado dentro de aproximaciones de números reales por números racionales. Los autores de este trabajo, compañeros nuestros, presentan una demostración sencilla de dicho teorema basándose en las sucesiones de Brocot. Hay que señalar que existe un libro reciente sobre las sucesiones de Brocot escrito por los mismos autores.

IT’S AS EASY AS abc. de Andrew Granville y Thomas J. Tucker. En Notices of the AMS, Vol. 49 No.10 Noviembre (2002) 1224-1231.9

Se trata de la conjetura abc en la teoría de números. En la primera parte del artículo los autores exponen con detalle la génesis de la conjetura y su enunciado.
La segunda parte es más técnica. En ella se muestra su relación con algunos de los teoremas más importantes en teoría de números, a saber: el teorema de Roth, el teorema de Falting, el teorema de Baker y el teorema de Wiles. Esta segunda parte presupone un conocimiento profundo de la teoría de números.

DINNER, DANCING, AND TENNIS, ANYONE?. de James N. Brawner. En Mathematics Magazine, Vol. 73 No.1 Febrero (2.000) 29-36.

En agosto de 1.996 hubo problemas en la Asociación de Tenis de los EEUU. En el torneo participaban 128 jugadores de los que 16 estaban preseleccionados. Hubo que repetir el sorteo y constataron que Medvedev y Fleurian, en ambos sorteos, les había tocado competir en la primera vuelta. Ante coincidencia tan notable, contactaron con el Departamento de Matemáticas y Ciencias de la Computación de la Universidad de St. John para preguntar sobre la probabilidad de dicho suceso.
El autor se propone en este artículo los dos problemas siguientes:
• Problema fácil: ¿Cuál es la probabilidad de que Medvedev y Fleurian sean escogidos como oponentes en la primera vuelta en ambos sorteos?
• Problema difícil: ¿Cuál es la probabilidad de que al menos un par de jugadores sean elegidos como oponentes en la primera vuelta en ambos sorteos?
Para la respuesta se apoya el autor en dos problemas clásicos de probabilidades: el problema de la cena, en su versión simple y considerando también personas no invitadas; y el problema del baile, en versión simple y considerando personas sin pareja. Desarrolla dichos problemas mediante fórmulas recursivas y procede a la solución del problema difícil , dejando al lector interesado que compruebe la solución del problema fácil.

A COMBINATORIAL APPROACH TO SUMS OF INTEGER POWERS. de George Mackiw. En Mathematics Magazine, Vol. 73 No.1 Febrero (2000) 44-46. 7

Generalmente se demuestra por inducción, que la suma (Sp(n)) de las potencias de orden p de los n primeros números enteros positivos, es un polinomio en n de grado p + 1. Es opinión del autor que dichas técnicas inductivas o recursivas pudieran dejar a veces en el lector un sentimiento vago de no haber llegado al corazón del asunto.
Ofrece el autor, en esta nota, una interpretación combinatoria de Sp(n) que puede servir para motivar por qué dicha suma puede expresarse mediante un polinomio de grado p + 1 en la variable n. Para ello emplea una técnica habitual en combinatoria, que consiste en contar los elementos de un conjunto de dos formas distintas, resultando una identidad en la que queda involucrada la cantidad que quiere calcular.
Este enfoque permite hacer consideraciones generales sobre los coeficientes de dicho polinomio y produce una técnica para el cálculo directo del polinomio.

TRIANGLES WITH INTEGER SIDES, REVISITED. de Michael D. Hirschhorn. En Mathematics Magazine, Vol. 73 No.1 Febrero (2.000) 53-56.

El autor trata el problema, ya otras veces estudiado, de hallar el número de triáangulos con lados enteros y de perímetro dado n.
A la solución llega en dos pasos. En primer lugar muestra, mediante un argumento combinatorio directo, que la solución del problema consiste en el número de particiones de un cierto número entero en no más de tres partes.
Finalmente calcula el número de particiones de n en no más de tres partes, a partir de su función generatriz y mediante una descomposición en fracciones simples novedosa.

THE UNION OF VIETA'S AND WALLIS'S PRODUCTS FOR PI (Fórmula conjunta Vieta-Wallis de pi) de Thomas J. Osler, en Amer. Math. Monthly, Octubre(1.999) 774-776.

Propone el autor una generalización de las fórmulas de Vieta y Wallis de pi de la siguiente manera: los p primeros factores corresponden a los p primeros factores en la fórmula de Vieta y el resto de los factores hasta infinito corresponden a los de la fórmula de Wallis a partir del factor p+1. En su expresión es una fórmula híbrida de ambas y constituye una generalización
ya que para p = 0 se tiene la fórmula de Wallis y para p tendiendo a infinito la de Vieta.
Dice el autor que descubrió la fórmula al intentar demostrar la expresión de Vieta. Finalmente da una demostración de dicha fórmula generalizada.

MAPPING TIME: THE CALENDAR AND ITS HISTORY. (Cartografía del tiempo: El calendario y su historia) de E.G.Richards, Oxford University Press, 1.998 XXi+ 438 pgs., 35$ USA. Recensión: J.P.Pratt. En Amer. Math. Monthly, Enero (2.000) 92-99.

Después de un brevísimo comentario sobre dicho libro, propone el recensor cinco criterios que debería cumplir el calendario ideal, a los cuales dedica la casi totalidad de su comentario.
Estos criterios son:
• Predecibilidad.
• Exactitud a largo plazo.
• Sencillez.
• Alineación con una cuenta de días ininterrumpida.
• Patrones encajados.
Finalmente el recensor propone el calendario de Enoch como prototipo que cumple los cinco criterios, mientras que la mayoría de calendarios estudiados en el libro de Richards suelen cumplir tres criterios.

La universidad de St. Andrews en Escocia ha puesto en la red el archivo Mac Tutor de Historia de las Matemáticas.

Es una mina para los interesados en la Historia de las Matemáticas. Hay un índice de Biografías, alfabético o cronológico, fácil de usar, que contiene más de mil biografías, alguna de ellas con retrato. Hay un índice de temas de Historia que abarca artículos
como "El desarrollo de la teoría de grupos", "Números perfectos" o "Una visita a la casa de Maxwell" entre otros. Hay también mapas de lugares de nacimiento.
Incluso los no interesados estrictamente en la Historia de las Matemáticas pueden tener interés en leer las biografías de los ganadores de la medalla Fields, o el índice de Curvas Famosas.
Hay, cómo no, conexiones a otros lugares relacionados y útiles. He aquí algunas: constantes matemáticas favoritas, servidor de citas matemáticas, biografías de mujeres matemáticas, usos antiguos de símbolos y palabras matemáticas, diccionario visual de curvas planas y página matemática Yahoo.
La dirección es: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history

NON-NONSTANDARD ANALYSIS: REAL INFINITESIMALS (Análisis no-noestándar: infinitésimos reales) por J. M. Henle en The Mathematical Intelligencer, Vol 21, 1 (1.999) 67-73.

En 1.966 Abraham Robinson fundamentó los infinitésimos como miembros del conjunto de números hiperreales en su libro "Análisis No-estándar". Necesitó hacer uso del axioma de elección.
Hay, en cambio, una forma natural de construir los infinitésimos que, irónicamente, se puede rastrear en cualquier libro de texto de calculo suficientemente antiguo. A principios de siglo, era típico de los libros de texto, definir un infinitésimo como una "variable cuyo límite es cero". Este es el enfoque del presente artículo: los infinitésimos son sucesiones que tienden a cero.
El término "no-noestandar" es para llamar la atención sobre su naturaleza inadaptada. Los infinitésimos no son "estándar" pero tampoco son "no-estándar"' ya que este último término tiene un significado bien definido. Continúa el autor desarrollando una parte sustancial del análisis y demostrando algunos teoremas, para que se vea la diferencia de método. Acaba haciendo algunas reflexiones sobre cómo ha evitado el uso del axioma de elección, ¿qué pasó con el axioma de completitud? y un poco de historia, de los infinitésimos, entre otras.

DOES MATHEMATICS NEED NEW AXIOMS? (¿Se necesitan nuevos axiomas en Matemáticas?) por Solomon Feferman en Amer. Math. Monthly, Febrero (1.999) 99-111.

Este es el texto de una conferencia, que pronunció el profesor Feferman en San Diego el 10 de Enero de 1.997, invitado por la AMS-MAA (Sociedad Matemática, Americana - Asociación Matemática de América).
Aunque sin dejar de lado el punto de vista del matemático, se centra sobre todo Feferman, en la mayor parte del artículo, en el punto de vista del lógico y en gran medida en el de Kurt Godel. A partir de sus resultados de incompletitud de 1.931 hasta el final de su vida, Godel insto a la búsqueda de nuevos axiomas, que fijaran los problemas aritméticos indecidibles. Y a partir de 1.947 con la publicación de su articulo: ¿Cuál es el problema del continuo de Cantor? llamó, además, a la búsqueda de axiomas que fijaran la famosa conjetura de Cantor sobre el cardinal del continuo. En ambos casos Godel apuntó principalmente a esquemas de alta infinitud en teoría de conjuntos como la dirección en la que buscar esos nuevos principios.
Aunque Feferman se declara estar bastante lejos de ser imparcial en este tema, intenta hacer una presentación de las otras posiciones para que cada cual decida por sí mismo. Al final del artículo da su opinión de forma abierta sobre este tema.
Sulomon Feferman recibió su doctorado en la universidad de Berkeley en 1.957 bajo la dirección de Alfred Tarski. Es editor en jefe de las OBRAS COMPLETAS de Kurt Godel y autor de numerosos artículos de lógica matemática, fundamentos de la matemática e historia de lógica moderna.

DECISION MAKING: A GOLDEN RULE (Toma de decisiones: una regla de oro) de Dimitris A. Sardelis y Theodoros M. Valahas en Amer. Math. Monthly, Marzo (1.999) 215-226.

Trata de la solución de un problema que apareció por primera vez en Investigación y Ciencia en Febrero de 1960. Se le conoce como el problema de la dote, el problema del concurso de belleza y el problema del matrimonio entre otros nombres. En síntesis dice asi:
A una persona le presentan N cajas, cada una conteniendo una cantidad distinta de dinero. Esta persona va abriendo una a una las cajas. Cada vez que abre una caja puede quedarse con su contenido o rechazarla y pasar a la siguiente. Si llegase de esta manera hasta, la última caja, debe quedarse con ella. Esta persona quiere quedarse con la mejor caja. para lo cual debe emplear una estrategia con la mayor probabilidad de éxito posible.
Los autores exploran el problema y construyen su solución a través de un proceso cuidadosamente detallado. Finalmente establecen la regla de oro para la toma de decisiones, donde el número c aparece involucrado.

La editorial Birkhauser ha puesto en marcha, desde Abril de 1.999, una sección o ventana de lectura (READING ROOM) de libros en su página web.

Se pueden hojear página a página en su totalidad cada uno de los 5 títulos dispuestos para Abril. Estos son:
• Wolff, Analysis Alive.
• Escher, Topics in Nonlinear Analysis.
• Sunder, Functional Analysis.
• Kawauchi, A Survey of Knot Theory.
• Reiss, Statistical Analysis of Extreme Valúes.
El plazo de disponibilidad es de 30 días. La dirección de la editorial Birkhauser es: http://www.birkhauser.ch